Um número é Capicua é um número que se lê do mesmo modo da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda. Por exemplo 77, 434, 6446, 82328.
Para obteres um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua.
Exemplo: Partindo do número 84 ,
84 + 48 = 132;
132 + 231 = 363, que é um Número Capicua.
Quanto vale um centilhão?
O maior número aceito no sistema de potências sucessivas de dez, é o centilhão, registrado pela primeira vez em 1852. Representa a centésima potência de um milhão, ou o número 1 seguido de 600 zeros (embora apenas utilizado na Grã-Bretanha e na Alemanha).
A HISTORIA DA MATEMATICA
Por volta dos séculos IX e VIII A.C., a matemática engatinhava na BabilôniaOs babilônios e os egípcios já tinham uma álgebra e uma geometria, mas somente o que bastasse para as suas necessidades práticas, e não de uma ciência organizada.
Na Babilônia, a matemética era cultivada entre os escrivas responsáveis pelos tesouros reais.
Apesar de todo material algébrico que tinham os babilônios e egípcios, só podemos encarar a matemática como ciência, no sentido moderno da palavra, a partir dos séculos VI e V A.C., na Grécia.
A matemática grega se distingue da babilônica e egípcia pela maneira de encará-la.
Os gregos fizeram-na uma ciência propriamente dita sem a preocupação de suas aplicações práticas.
Do ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da anterior, por ter levado em conta problemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade.
As diversas tentativas dos gregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo.
O método axiomático-dedutivo consiste em admitir como verdadeiras certas preposições (mais ou menos evidentes) e a partir delas, por meio de um encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais.
As dificuldades com que os gregos depararam ao estudar os problemas relativos a processos infinitos (sobretudo problemas sobre números irracionais) talvez sejam as causas que os desviaram da álgebra, encaminhando-os em direção à geometria.
Realmente, é na geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides, intitulada "Os Elementos".
Sucedendo Euclides, encontramos os trabalhos de Arquimedes e de Apolônio de Perga.
Arquimedes desenvolve a geometria, introduzindo um novo método, denominado "método de exaustão", que seria um verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um importante ramo de matemática (teoria dos limites).
Apolônio de Perga, contemporâneo de Arquimedes, dá início aos estudos das denominadas curvas cônicas: a elipse, a parábola, e a hipérbole, que desempenham, na matemática atual, papel muito importante.
No tempo de Apolônio e Arquimedes, a Grécia já deixara de ser o centro cultural do mundo. Este, por meio das conquistas de Alexandre, tinha-se transferido para a cidade de Alexandria.
Depois de Apolônio e Arquimedes, a matemática graga entra no seu ocaso.
A 10 de dezembro de 641, cai a cidade de Alexandria sob a verde bandeira de Alá. Os exércitos árabes, então empenhados na chamada Guerra Santa, ocupam e destroem a cidade, e com ela todas as obras dos gregos. A ciência dos gregos entra em eclipse.
Mas a cultura helênica era bem forte para sucumbir de um só golpe; daí por diante a matemática entra num estado latente.
Os árabes, na sua arremetida, conquistam a Índia encontrando lá um outro tipo de cultura matemática: a Álgebra e a Aritmética.
Os hindus introduzem um símbolo completamente novo no sistema de numeração até então conhecido: o ZERO.
Isto causa uma verdadeira revolução na "arte de calcular".
Dá-se início à propagação da cultura dos hindus por meio dos árabes. Estes levam à Europa os denominados "Algarismos arábicos", de invenção dos hindus.
Um dos maiores propagadores da matemática nesse tempo foi, sem dúvida, o árabe Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, de cujo nome resultaram em nossa língua as palavras algarismos e Algoritmo.
Alehwrizmi propaga a sua obra, "Aldschebr Walmakabala", que ao pé da letra seria: restauração e confonto. (É dessa obra que se origina o nome Álgebra).
A matemática, que se achava em estado latente, começa a se despertar.
No ano 1202, o matemático italiano Leonardo de Pisa, cognominado de "Fibonacci" ressuscita a Matemática na sua obra intitulada "Leber abaci" na qual descreve a "arte de calcular" (Aritmética e Álgebra). Nesse livro Leonardo apresenta soluções de equações do 1º, 2º e 3º graus.
Nessa época a Álgebra começa a tomar o seu sapecto formal. Um monge alemão. Jordanus Nemorarius já começa a utilizar letras para significar um número qualquer, e ademais introduz os sinais de + (mais) e - (menos) sob a forma das letras p (plus = mais) e m (minus = menos).
Outro matemático alemão, Michael Stifel, passa a utilizar os sinais de mais (+) e menos (-), como nós os utilizamos atualmente.
É a álgebra que nasce e se põe em franco desenvolvimento.
Tal desenvolvimento é finalmente consolidado na obra do matemático francês, François Viete, denominada "Algebra Speciosa".
Nela os símbolos alfabéticos têm uma significação geral, podendo designar números, segmentos de retas, entes geométricos etc.
No século XVII, a matemática toma nova forma, destacando-se de início René Descartes e Pierre Fermat.
A grande descoberta de R. Descartes foi sem dúvida a "Geometria Analítica" que, em síntese, consiste nas aplicações de métodos algébricos à geometria.
Pierre Fermat era um advogado que nas horas de lazer se ocupava com a matemática.
Desenvolveu a teoria dos números primos e resolveu o importante problema do traçado de uma tangente a uma curva plana qualquer, lançando assim, sementes para o que mais tarde se iria chamar, em matemática, teoria dos máximos e mínimos.
Vemos assim no século XVII começar a germinar um dos mais importantes ramos da matemática, conhecido como Análise Matemática.
Ainda surgem, nessa época, problemas de Física: o estudo do movimento de um corpo, já anteriormente estudados por Galileu Galilei.
Tais problemas dão origens a um dos primeiros descendentes da Análise: o Cálculo Diferencial.
O Cálculo Diferencial aparece pela primeira vez nas mãos de Isaac Newton (1643-1727), sob o nome de "cálculo das fluxões", sendo mais tarde redescoberto independentemente pelo matemático alemão Gottfried Wihelm Leibniz.
Seduzidos por essas novas teorias, os matemáticos dos séculos XVII e XVIII, corajosa e despreocupadamente se lançam a elaborar novas teorias analíticas.
Mas nesse ímpeto, eles se deixaram levar mais pela intuição do que por uma atitude racional no desenvolvimento da ciência.
Não tardaram as consequências de tais procedimentos, começando por aparecer contradições.
Um exemplo clássico disso é o caso das somas infinitas, como a soma abaixo:
S = 3 - 3 + 3 - 3 + 3...........
supondo que se tenha um nº infinito de termos.
Se agruparmos as parcelas vizinhas teremos:
S = (3 - 3) + (3 - 3) + ...........= 0 + 0 +.........= 0
Se agruparmos as parcelas vizinhas, mas a partir da 2ª, não agrupando a primeira:
S = 3 + ( - 3 + 3) + ( - 3 + 3) + ...........= 3 + 0 + 0 + ......... = 3
O que conduz a resultados contraditórios.
Esse "descuido" ao trabalhar com séries infinitas era bem característicos dos matemáticos daquela época, que se acharam então num "beco sem saída'.
Tais fatos levaram, no ocaso do século XVIII, a uma atitude crítica de revisão dos fatos fundamentais da matemática.
Pode-se afirmar que tal revisão foi a "pedra angular" da matemática.
Essa revisão se inicia na Análise, com o matemático francês Louis Cauchy (1789 - 1857), professor catedrático na Faculdade de Ciências de Paris.
Cauchy realizou notáveis trabalhos, deixando mais de 500 obras escritas, das quais destacamos duas na Análise: "Notas sobre o desenvolvimento de funções em séries" e "Lições sobre aplicação do cálculo à geometria".
Paralelamente, surgem geometrias diferentes da de Euclides, as denominadas Geometrias não euclidianas.
Por volta de 1900, o método axiomático e a Geometria sofrem a influência dessa atitude de revisão crítica, levada a efeito por muitos matemáticos, dentre os quais destacamos D. Hilbert, com sua obra "Fundamentos da Geometria" ("Grudlagen der Geometrie" título do original), publicada em 1901.
A Álgebra e a Aritmética tomam novos impulsos.
Um problema que preocupava os matemáticos era o da possibilidade ou não da solução de equações algébricas por meio de fórmulas que aparecessem com radicais.
Já se sabia que em equações do 2º e 3º graus isto era possível; daí surgiu a seguinte questão: será que as equações do 4º graus em diante admitem soluções por meio de radicais?
Em trabalhos publicados por volta de 1770, Lagrange (1736 - 1813) e Vandermonde (1735-96) iniciaram estudos sistemáticos dos métodos de resolução.
À medida em que as pesquisas se desenvolviam no sentido de achar tal tipo de resolução, ia se evidenciando que isso não era possível.
No primeiro terço do século XIX, Niels Abel (1802-29) e Evariste de Galois (1811-32) resolvem o problema, demonstrando que as equações do quarto e quinto grau em diante não podiam ser resolvidas por radicais.
O trabalho de Galois, somente publicado em 1846, deu origem a chamada "teoria dos grupos" e à denominada "Álgebra Moderna", dando também grande impulso à teoria dos números.
Com respeito à teoria dos números não nos podemos esquecer das obras de R. Dedekind e Gorg Cantor.
R. Dedekind define os números irracionais pela famosa noção de "Corte".
Georg Cantor dá início à chamada Teoria dos conjuntos, e de maneira arrojada aborda a noção de infinito, revolucionando-a.
A partir do século XIX a matemática começa então a se ramificar em diversas disciplinas, que ficam dada vez mais abstratas.
Atualmente se desenvolvem tais teorias abstratas, que se subdividem em outras disciplinas.
Os entendidos afirmam que estamos em plena "idade de ouro" da Matemática, e que neste últimos cinquenta anos tem se criado tantas disciplinas, novas matemáticas, como se haviam criado nos séculos anteriores.
Esta arremetida em direção ao "Abstrato", ainda que não pareça nada prática, tem por finalidade levar adiante a "Ciência".
A história tem mostrado que aquilo que nos parece pura abstração, pura fantasia matemática, mais tarde se revela como um verdadeiro celeiro de aplicações práticas.
FONTE: “LISA - BIBLIOTECA DA MATEMÁTICA MODERNA : OLIVEIRA, ANTÔNIO MARMO DE.”
O Início do processo de contagem
Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.
As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é denominada Oriente Médio.
A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo, das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a surgir as primeiras formas de calendário.
No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada em um saco.
A correspondência unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação.
Representação numérica
Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira de representação.
O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um processo mental.
"Distingüimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e mesmo quatro elementos. mas aí para nosso poder de identificação dos números." História Universal dos Algarismos", Georges Ifrah.
Temos também, alguns animais, ditos irracionais, como os rouxinóis e os corvos, que possuem este senso numérico onde reconhecem quantidades concretas que vão de um até três ou quatro unidades. Existe um exemplo célebre sobre um corvo que tinha capacidade de reconhecer quantidades.
Curiosidade: Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que fez seu ninho na torre de observação de sua mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho. De uma árvore distante, ele esperava atentamente até que o homem saísse da torre e só então voltava ao ninho. Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois homens entraram na torre, um ficou dentro e o outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi enganado: manteve-se afastado até que o outro homem saísse da torre. A experiência foi repetida nos dias subsequentes com dois, três e quatro homens, ainda sem sucesso. Finalmente, foram utilizados cinco homens como antes, todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro enquanto os outros quatro saíam e se afastavam. Desta vez o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre quatro e cinco, voltou imediatamente ao ninho.Alguns símbolos antigos
No começo da história da escrita de algumas civilizações como a egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiros eram anotados pela repetição de traços verticais:| I | II | III | IIII | IIIII | IIIIII | IIIIIII | IIIIIIII | IIIIIIIII |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar mais do que quatro termos:
| I | II | III | IIII | IIII I | IIII II | IIII III | IIII IIII | IIII IIII I |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era composto pelos seguintes símbolos numéricos:
Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com as partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os indivíduos chegavam a contar até o número 33.
O ábaco
O ábaco, em sua forma geral, é uma moldura retangular com fileiras de arame, cada fileira representando uma classe decimal diferente, nas quais correm pequenas bolas
O Sistema de numeração Indo-Arábico
Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão.O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e sua unicidade, o segundo número 2, significava a mulher da família, a dualidade e o número 3 (três) significava muitos, multidão. A curiosidade sobre os nomes do 3, não deve ter ocorrido por acaso.
| Inglês | Francês | Latim | Grego | Italiano | Espanhol |
|---|---|---|---|---|---|
| three | trois | tres | treis | tre | tres |
| Sueco | Alemão | Russo | Polonês | Hindu | Português |
|---|---|---|---|---|---|
| tre | drei | tri | trzy | tri | três |
Notas históricas sobre a atual notação posicional
Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que nasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o que é comprovado por vários documentos, além de ser citado por árabes (a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos).Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrional usaram por muito tempo uma numeração rudimentar que aparece em muitas inscrições do século III antes de Cristo.
Esta numeração tinha uma característica do sistema moderno. Seus nove primeiros algarismos eram sinais independentes:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
o que significava que um número como o 5 não era entendido como 5 unidades mas como um símbolo independente.Por muito tempo, estes algarismos foram denominados algarismos arábicos, de uma forma errada.
Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hindus passaram a usar a notação por extenso para os números, pois não podiam exprimir grandes números por algarismos.
Sem saber, estavam criando a notação posicional e também o zero.
Cada algarismo tinha um nome:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| eka | dvi | tri | catur | pañca | sat | sapta | asta | nava |
10 = dasa 100 = sata 1.000 = sahasra 10.000 = ayuta 100.000 = laksa 1.000.000 = prayuta 10.000.000 = koti 100.000.000 = vyarbuda 1.000.000.000 = padmaAo invés de fazer como hoje, de acordo com as potências decrescentes de 10, os hindus escreviam os números em ordem crescente das potências de 10 por volta do século IV depois do nascimento de Jesus Cristo. Eles começavam pelas unidades, depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante. O número 3.709 ficava:
| 9 | 700 | 3000 |
|---|---|---|
| nove | sete centos | três mil |
| nava | sapta sata | tri sahasra |
Poderiamos escrever o número 12.345 como
pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
pois, 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 + 10.000, logo:
5 = pañca 40 = catur dasa 300 = tri sata 2.000 = dvi sahasra 10.000 = ayutapañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
Esta já era uma forma especial.
Em virtude da grande repetição que ocorria com as potências de 10, por volta do século V depois do nascimento de Jesus Cristo, os matemáticos e astrônomos hindus resolveram abreviar a notação retirando os múltiplos de 10 que apareciam nos números grandes, assim o número 12.345 que era escrito como:
pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
passou a ser escrito apenas:
54321 = pañca catur tri dvi dasa
12345 = 5 + 4×10 + 3×100 + 2×1000 + 1×10000
e esta se transformou em uma notação falada e escrita posicional excelente para a época, mas começaram a acontecer alguns problemas como escrever os números 321 e 301.
321 = 1 + 2 x 10 + 3 x 100
321 = dasa dvi tri
301 = 1 + 3 x 100
301 = dasa tri
É lógico que este último número não poderia ser o 31, pois:
31 = 1 + 3 x 10
31 = dasa tri
No número 301 faltava algo para representar as dezenas.
Para construir este material, usamos algumas partes do excelente livro: "Os números: A história de uma grande invenção", Georges Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985, com a permissão da Editora.
Notas históricas sobre a criação do zero
Tendo em vista o problema na construção dos números como 31 e 301, os hindus criaram um símbolo para representar algo vazio (ausência de tudo) que foi denominado sunya (a letra s tem um acento agudo e a letra u tem um traço horizontal sobre ela).Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um algarismo para representar as dezenas no número 301 e assim passaram a escrever:
301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100
301 = dasa sunya tri
Os hindus tinham acabado de descobrir o zero.301 = dasa sunya tri
Porém, estas notações só serviam para as palavras e não para os números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero bem como o atual sistema de notação posicional.
Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é um tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na data de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um movimento religioso hindú para enaltecer as suas próprias qualidades científicas e religiosas. Neste texto, aparece o número
14.236.713 escrito claramente:
| triny | ekam | sapta | sat | trini | dve | catvary | ekakam |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| três | um | sete | seis | três | dois | quatro | um |
Escrever tais números na ordem invertida, fornece:
| um | quatro | dois | três | seis | sete | um | três |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 2 | 3 | 6 | 7 | 1 | 3 |
Números como 123.000 eram escritos como:
sunya sunya sunya tri dvi dasa
que significa:
zero zero zero três dois um
que escrito na ordem invertida fornece:
um dois três zero zero zero
No texto existe a palavra hindú sthanakramad que significa "por ordem de posição"
Observamos que tal notação posicional já era então conhecida no quinto século de nossa era por uma grande quantidade de cientistas e matemáticos.
Para escrever este material, usamos alguns tópicos do excelente livro: "Os números: A história de uma grande invenção", Georges Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985.
Notação Posicional
O sistema de numeração posicional indiano surgiu por volta do século V. Este princípio de numeração posicional já aparecia nos sistemas dos egípcios e chineses.No sistema de numeração indiana não posicional que aparece no século I não existia a necessidade do número zero.
Notação (ou valor) posicional é quando representamos um número no sistema de numeração decimal, sendo que cada algarismo tem um determinado valor, de acordo com a posição relativa que ele ocupa na representação do numeral.
Mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando o valor do número. Por exemplo, tomemos o número 12. Mudando as posições dos algarismos teremos 21.
12 = 1 × 10 + 2
21 = 2 × 10 + 1
O zero foi o último número a ser inventado e o seu uso matemático parece ter sido criado pelos babilônios. Os documentos mais antigos conhecidos onde aparece o número zero, não são anteriores ao século III antes de Cristo. Nesta época, os números continham no máximo três algarismos.21 = 2 × 10 + 1
Um dos grandes problemas do homem começou a ser a representação de grandes quantidades. A solução para isto foi instituir uma base para os sistemas de numeração. Os numerais indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração usam a base dez, isto porque o princípio da contagem se deu em correspondência com os dedos das mãos de um indivíduo normal.
Na base dez, cada dez unidades é representada por uma dezena, que é formada pelo número um e o número zero: 10.
A base dez já aparecia no sistema de numeração chinês.
Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta.
Alguma vez você questionou sobre a razão pela qual há 360 graus em um círculo? Uma resposta razoável é que 360=6x60 e 60 é um dos menores números com grande quantidade de divisores, como por exemplo:
D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Os indianos reuniram as diferentes características do princípio posicional e da base dez em um único sistema numérico. Este sistema decimal posicional foi assimilado e difundido pelos árabes e por isso, passou a ser conhecido como sistema indo-arábico.Nosso sistema de numeração retrata o ábaco. Em cada posição que um número se encontra seu valor é diferente.
O Sistema Romano de Numeração
O sistema de numeração Romano é um sistema decimal, ou seja, sua base é dez. Este sistema é utilizado até hoje em representações de séculos, capítulos de livros, mostradores de relógios antigos, nomes de reis e papas e outros tipos de representações oficiais em documentos. Estas eram as primeiras formas da grafia dos algarismos romanos.Tal sistema não permite que sejam feitos cálculos, não se destinavam a fazer operações aritméticas mas apenas representar quantidades. Com o passar do tempo, os símbolos utilizados pelos romanos eram sete letras, cada uma com um valor numérico:
| Letra | I | V | X | L | C | D | M |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valor | 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
| Leitura | Um | Cinco | Dez | Cinquenta | Cem | Quinhentos | Mil |
Estas letras obedeciam aos três princípios:
- Todo símbolo numérico que possui valor menor do que o que está à sua esquerda, deve ser somado ao maior.
VI = 5 + 1 = 6
XII = 10 + 1 + 1 = 12
CLIII = 100 + 50 + 3 = 153 - Todo símbolo numérico que possui valor menor ao que está à sua direita, deve ser subtraído do maior.
IX = 10 - 1 = 9
XL = 50 - 10 = 40
VD = 500 - 5 = 495 - Todo símbolo numérico com um traço horizontal sobre ele representa milhar e o símbolo numérico que apresenta dois traços sobre ele representa milhão.
